안~は会話で主に使われ、~지 않다は文章やよりはっきり否定的な意見を述べる時使われます。~지 않다の方が説明のニュアンスが強くもっと丁寧に聞こえます。ただ会話では안~を使った方が自然です。
例文）
①밥 안 먹었어? （ご飯食べてないの？）
응, 안 먹었어 （うん、食べてない）
②이거 누가 한 거야? (これ誰がしたの。)
저는 하지 않았습니다/저는 안 했어요(ほぼ同じ意味で, 私はしてません の意味）
③요즘 건강해 보이지 않으시네요
(最近元気なさそうですね, 안 건강해보이다はそれほど使われません)
④사장님은 요즘 거의 안 주무세요
사장님은 요즘 거의 주무시지 않아요
（ほぼ同じ意味で、社長は最近ほぼ寝ていません の意味）